こんやまいもどる

やまいもの日記

整式の除算と行列の積

数学

Twitterで次のようなツイートを見かけた：

パッと見、不思議な感じだけど、行列の積に関して A = (\boldsymbol{a}_1\;\cdots\;\boldsymbol{a}_n)とみたときに

\begin{align} (\boldsymbol{a}_1\;\cdots\;\boldsymbol{a}_n) \left(\begin{matrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix}\right) = b_1\boldsymbol{a}_1 + \cdots + b_n\boldsymbol{a}_n \end{align}

が成り立つことを使って、ちゃんと xも書いてあげれば、

\begin{align} \left(\begin{matrix} x & & & \\ -1 & x & & \\ & -1 & x & \\ & & -1 & 1 \\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} x^2 \\ x \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right) = x^2 \left(\begin{matrix} x \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) + x \left(\begin{matrix} 0 \\ x \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right) + 1 \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x \\ -1 \end{matrix}\right) + 0 \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \end{align}

となっていて、1行目に x^3の項、2行目に x^2の項、3行目に xの項、そして4行目に定数項が出てくることが分かる。

これはなるほどという感じ。

まぁ、この方法で実際に割り算をしようと思ったら、 Aの逆行列を求めないとなので、この方法で計算することはないと思うけど、面白い考え方だと思う。

ではまた明日。