こんやまいもどる

やまいもの日記

整式の除算と行列の積

Twitterで次のようなツイートを見かけた:

パッと見、不思議な感じだけど、行列の積に関して A = (\boldsymbol{a}_1\;\cdots\;\boldsymbol{a}_n)とみたときに

\begin{align}
(\boldsymbol{a}_1\;\cdots\;\boldsymbol{a}_n)
\left(\begin{matrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix}\right)
= b_1\boldsymbol{a}_1 + \cdots + b_n\boldsymbol{a}_n
\end{align}

が成り立つことを使って、ちゃんと xも書いてあげれば、

\begin{align}
\left(\begin{matrix}
x &  &  &  \\
-1 & x & & \\
& -1 & x & \\
& & -1 & 1 \\
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} x^2 \\ x \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right)
= x^2 \left(\begin{matrix} x \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)
+ x \left(\begin{matrix} 0 \\ x \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right)
+ 1 \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x \\ -1 \end{matrix}\right)
+ 0 \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right)
\end{align}

となっていて、1行目に x^3の項、2行目に x^2の項、3行目に xの項、そして4行目に定数項が出てくることが分かる。

これはなるほどという感じ。

まぁ、この方法で実際に割り算をしようと思ったら、 A逆行列を求めないとなので、この方法で計算することはないと思うけど、面白い考え方だと思う。

ではまた明日。